如何在實際教學活動中發(fā)展幼兒的數(shù)學概念？行動、圖像、符號表征方式快應用起來！
添加時間：2021-11-25 瀏覽次數(shù)：
數(shù)學認知是《3～6歲兒童學習與發(fā)展指南》的重要板塊，它的教學目標是讓幼兒初步感知生活中的數(shù)學，感知和理解數(shù)量關系，感知形狀與空間關系。然而數(shù)學知識有較強的邏輯性和抽象性，對于思維還沒有發(fā)育完全的幼兒來說，學習起來是有一定難度的。
很多家庭也很重視早期的數(shù)學教育，但由于家長缺乏關于數(shù)學教育的認識，很容易走入誤區(qū)。而且很多幼兒園教師不知道如何開展數(shù)學領域的活動，也會因為活動沒有新意而無法吸引幼兒的學習注意力。 其實幼兒是天生的學習者，研究發(fā)現(xiàn)：1歲左右是嬰兒掌握初級數(shù)概念的關鍵期；2歲左右是嬰兒計算能力發(fā)展的關鍵期。教師和家長要把握幼兒的關鍵期，從小培養(yǎng)幼兒的數(shù)學興趣。
最新研究表明，手勢有助于兒童數(shù)學學習
在行動表征上主要圍繞手勢和操作材料兩個方面。過去數(shù)學學習不大主張用手指來幫助學習，我們認為這是比較低級思維的表現(xiàn)，但最新的研究表明，手勢的確有助于兒童的數(shù)學學習。
芝加哥大學做了一項研究實驗的對象是二年級的學生，對于“2+9+4=？”的數(shù)學問題，老師用了兩種方式與孩子們探討。一種是純語言的提問，另一種是老師用語言再加手勢，幫助孩子把數(shù)學問題直觀化。結果顯示，語言加手勢這一組的兒童做同一類數(shù)學問題的正確率都高于純語言的，并且在統(tǒng)計學上有顯著差異，這種學習效果還表現(xiàn)在兒童解決不同類型的數(shù)學方面，這說明學習能力是有遷移的。 幼兒園的老師或許有所疑惑，因為幼兒園不會教這些具體數(shù)學計算問題，這個實驗的意圖是什么？不錯，二年級學生的數(shù)學問題是不會在我們學前兒童教室出現(xiàn)的，但是這個研究卻給了我們一個啟示，也就是說手勢是可能有助于兒童數(shù)學學習的。在幼兒數(shù)學教育中，實際上老師也用了很多的手勢，比如舉起手指提問這里一共有多少，你看這是高還是低，是長還是短，是近還是遠，這是圓形還是三角形等。
我們不要忘記用手指和玩手指的游戲，手指是我們隨身攜帶的，可以幫助孩子理解10以內小數(shù)量的工具；研究表明靈活地運用手指能促進兒童的數(shù)學認識；當把手指與有關數(shù)量的兒歌、圖像、符號還有數(shù)學書寫聯(lián)系起來時，我們就把兒童的具體思維、形象思維和抽象思維都結合在一起了。
02/
一般而言操作材料是具體的、直觀的，它們有不同的顏色、形狀、大小、類型，由于兒童思維的具體性和直觀性決定他們首先注意到的是這些材料的表面特點，而不會形成數(shù)的概念。譬如說孩子看到一個紙杯時會認為是用來喝水的，鉛筆是用來畫畫的，熊媽媽和熊爸爸是一家人，這些具體的材料不會自動幫助兒童形成數(shù)的概念。
這個關系的連接并不是直接的，我們再舉個例子，一個蘋果被平均分為4等分，當孩子看到這個蘋果時，他們首先想到的可能是顏色，可能是味道，他不會自然的把4份蘋果和均分的概念聯(lián)系在一起。當然均分不僅僅是分蘋果，可以是紙張，也可以是其他材料的分類。也就是說均分是一個抽象的概念，而操作的材料是具體的。這里引用兩位美國心理學家談論兒童數(shù)學學習時提及的問題，第一個是密西根大學的Deborah Ball，他說“盡管肌肉運動有助于兒童的感知和思維，理解不會直接從手指上傳遞至胳膊，在大腦中構建概念的”。我們知道兒童的思維是具體的形象，但有了具體感知的東西，并不能直接等同于概念的形成。
還有一位心理學家 David Uttal，他是西北大學的教授，他說“幼兒不是總能夠把操作材料與其代表的數(shù)學概念概念連接起來的”。但這并不是說我們不需要操作材料了，其實操作材料在幼兒數(shù)學學習中至關重要，它為抽象的數(shù)學概念奠定了一個必要的、可摸的、可動的思維臺階。
對于操作材料的選擇大有研究，在兒童剛接觸數(shù)學概念時，應該選擇視覺沖擊較小或者顏色、形狀、大小、類型相同的材料，把兒童的注意力從材料表面的現(xiàn)象、特點轉移到材料所蘊含的數(shù)學意義上來。就拿積木來說，有同樣的顏色、大小、形狀，但是它們擺設方式不同，這樣可以讓孩子理解到材料的變化，幫助孩子建立數(shù)的概念。除了同樣顏色、形狀、大小類型或者無色的材料以外，我們也可以給孩子呈現(xiàn)不同顏色、形狀、大小的材料，為兒童選擇操作材料時要注意其視覺方面的豐富性以及生活中真實物體的相似性，無論使用什么樣的操作材料，老師都需要明確向孩子們解釋操作材料和它所代表的數(shù)學概念之間的關系。而建立這一聯(lián)系孩子需要大量的練習和經(jīng)驗去實踐。
03/
關于兒童數(shù)學教育中的圖像表征，我們可以從繪本、圖畫、圖表和視覺圖像四個方面進行舉例說明。首先是繪本，繪本以數(shù)字、圖形、概念等數(shù)學知識為內容，讓數(shù)學生活化、故事化，幫助兒童更好地接受與理解。只要留心，老師們會發(fā)現(xiàn)許多的兒童繪本中都包括了非常豐富的數(shù)學概念。其次是圖畫，數(shù)學概念是抽象的，但圖畫是具體的，孩子們都喜歡畫畫，當他們還不大能夠準確地用數(shù)學符號來表示數(shù)學思維的時候，圖畫就不失為一種替代方式。在圖畫中，我們可以看到兒童對數(shù)學不同的理解，看到兒童數(shù)學發(fā)展的脈絡。
在幼兒園時，我和小班孩子們一起做了一個數(shù)學游戲，這個游戲說的是：有9只小熊出去玩，可是他們只帶了5個甜點。如果讓孩子用操作材料、圖畫或者是符號來表示，就可以看到孩子對數(shù)學的理解。有的孩子把它畫成一幅圖畫，顯然是和數(shù)學沒有任何關系的；有的孩子畫了不同的熊或者是甜品還寫了一個6的字，就說明孩子的數(shù)概念開始有所發(fā)展了。
此外還可以使用圖表，圖表也可以有不同的形式，比如說：實物圖表、操作材料圖表、圖畫圖表以及數(shù)學圖表。一般來講實物圖表最具體，而數(shù)學圖表最抽象。
最后一種是視覺圖像，孩子們都喜歡數(shù)數(shù)，但不是讓孩子機械數(shù)數(shù)，而是把數(shù)字與數(shù)軸聯(lián)系起來，我們就可以直觀看到數(shù)字1、2、3、4在左邊數(shù)軸是很小的，但數(shù)到12、13、14 甚至90、100時，數(shù)軸會越來越向右，它的距離會越來越長，它的數(shù)量也就越來越大，這種直觀的視覺圖像會大大增加兒童對數(shù)和量概念的認識。
數(shù)學天才兒童的研究也表明有些孩子具有較強的視覺數(shù)學能力，那視覺數(shù)學的作用是什么？它讓孩子在腦海里看到了數(shù)學，讓抽象的數(shù)學形象化、具體化，促進孩子對數(shù)學的理解。生活中也有一些視覺圖像的材料，比如說5連格、10連格等，這些都可以幫助孩子有效地建立5以內或者10以內數(shù)的組合與分解。
其實視覺信息主要是調動了左右大腦半球的交流，通過強化兩個大腦半球之間的互動來優(yōu)化數(shù)學學習與理解。視覺數(shù)學有益于兒童數(shù)學的操作與學習。鼓勵兒童進行數(shù)學視覺思維，實際上也是在幫助他們加強大腦左右半球的交流，促進他們更好地理解數(shù)學。
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兒童數(shù)學教育中的符號表征主要表現(xiàn)在數(shù)學語言的作用，什么是數(shù)學語言呢？簡單的說就是與數(shù)字、數(shù)學概念相聯(lián)系的一些詞匯，比如說這一共是5個手指頭，你們用了許許多多的長方形積木，你看看它高我低，我們量一量這張桌子到底有多長？
在談到數(shù)學語言的作用之前，先給大家介紹一個實驗研究，這個實驗研究的研究者提出了兩個問題，第一個問題是幼兒教師在使用數(shù)字詞匯方面有什么不同？第二個問題是這種不同在多大程度上會影響兒童數(shù)概念的發(fā)展？這個研究是美國芝加哥大學的心理學家做的，他們觀察了26個中班的老師和學生，每一個孩子老師觀察三次。他們聚焦在早晨的集體教學活動中，對老師的談話錄音然后進行記錄和分析，發(fā)現(xiàn)幼兒教師與兒童的談話中使用數(shù)字有關的詞匯，只是數(shù)字，老師們使用數(shù)字談話的范圍在三次活動中從1到104，有的老師只用了一次，有的老師用了104次，平均數(shù)值為28。
在這里，我們強調的不僅僅是1和104之間在數(shù)量上的差別，更重要的是想要知道老師使用數(shù)字在多大程度上會影響兒童的數(shù)學成績，實驗者把教師使用數(shù)字詞匯的頻次和兒童的數(shù)學學習成績做一個相關分析，發(fā)現(xiàn)教師使用數(shù)字詞匯越多，兒童的學業(yè)成績也就越好。
下面再給大家舉個例子，這個例子是美國紐約五歲半的孩子與老師之間的數(shù)學談話活動，他使用的材料是一種自制的10方格。
數(shù)學談話是一種常規(guī)性的活動，可以一個星期5次，也可以每天都有，每次很短，幾分鐘就結束了。這個活動一般是基于孩子們已經(jīng)學過，但還沒有完全掌握的概念和技能，比如說美國這個老師的主要目的是讓孩子們熟悉小數(shù)目10以內的組成，所以他使用了10方格的卡片，讓孩子們觀察到底是幾個點在格子里，再讓孩子們講出你怎么知道這是5，這是6，這是7或者這是10的，讓孩子自由發(fā)言，教師不針對孩子的回答做過多的評價。
在這個過程中可以看到孩子用很多不同的方法來解決問題，有的孩子一看就知道答案了，有的孩子會說方格里還有三個空格沒有數(shù)字所以代表了數(shù)字7等等，從中可以看到兒童使用不同的方法解決問題，他們會進行發(fā)散性的思考，并表現(xiàn)出對數(shù)概念的掌握程度。我們之所以強調數(shù)學語言，是因為幼兒學習數(shù)學，不僅需要動手操作，還需要通過思考和交談語言，讓他們的思維更具體化、清晰化，也更概念化。
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根據(jù)皮亞杰的理論，兒童的數(shù)學思維發(fā)展被認為是直線型的過程，即從具體到抽象。今天，我們對兒童數(shù)學思維的發(fā)展有了新的理解，即思維有三種形式，并且是同時存在、同時運作的，只是它的運作形式和程度有所不同。
兒童年齡越小，具體思維的程度就越大，抽象思維的程度就會越小，那么在教學中的具體性、形象性也應該越強，但這并不表明我們要排斥抽象思維形式。在幼兒數(shù)學教學管理中，數(shù)學是一種抽象的思維，是精確思維的學科，幼兒數(shù)學也是朝這個方向來努力發(fā)展的。
因此，我們應當在適當?shù)臅r候用適當?shù)姆绞脚c兒童進行數(shù)學對話，給他們介紹有關數(shù)學概念有關的符號，這些都是必要的；我們要幫助兒童用手、腳、身體、眼睛、耳朵和大腦來學習數(shù)學的三種表征方式，有意識地運用在實際的教學活動中，發(fā)展兒童的數(shù)學概念。
很多家庭也很重視早期的數(shù)學教育，但由于家長缺乏關于數(shù)學教育的認識，很容易走入誤區(qū)。而且很多幼兒園教師不知道如何開展數(shù)學領域的活動，也會因為活動沒有新意而無法吸引幼兒的學習注意力。 其實幼兒是天生的學習者，研究發(fā)現(xiàn)：1歲左右是嬰兒掌握初級數(shù)概念的關鍵期；2歲左右是嬰兒計算能力發(fā)展的關鍵期。教師和家長要把握幼兒的關鍵期，從小培養(yǎng)幼兒的數(shù)學興趣。
本期，我們跟隨陳杰琦教授，從幼兒認知發(fā)展以及尊重兒童數(shù)學學習發(fā)展規(guī)律這個角度與大家一起來探討這個問題。幼兒數(shù)學的聚焦點是三角形，這個三角形代表的是三位一體的表征方式，包括行動表征、圖像表征還有符號表征，這三種表征方式相互聯(lián)系，相互影響，共同促進兒童數(shù)學概念和技能的發(fā)展。
內容轉載自：人文幼學 內容來自2021年OMEP亞太區(qū)域探討會陳杰琦主題報告《高質量幼兒園數(shù)學教育研究的新進展》
最新研究表明，手勢有助于兒童數(shù)學學習
在行動表征上主要圍繞手勢和操作材料兩個方面。過去數(shù)學學習不大主張用手指來幫助學習，我們認為這是比較低級思維的表現(xiàn)，但最新的研究表明，手勢的確有助于兒童的數(shù)學學習。
芝加哥大學做了一項研究實驗的對象是二年級的學生，對于“2+9+4=？”的數(shù)學問題，老師用了兩種方式與孩子們探討。一種是純語言的提問，另一種是老師用語言再加手勢，幫助孩子把數(shù)學問題直觀化。結果顯示，語言加手勢這一組的兒童做同一類數(shù)學問題的正確率都高于純語言的，并且在統(tǒng)計學上有顯著差異，這種學習效果還表現(xiàn)在兒童解決不同類型的數(shù)學方面，這說明學習能力是有遷移的。 幼兒園的老師或許有所疑惑，因為幼兒園不會教這些具體數(shù)學計算問題，這個實驗的意圖是什么？不錯，二年級學生的數(shù)學問題是不會在我們學前兒童教室出現(xiàn)的，但是這個研究卻給了我們一個啟示，也就是說手勢是可能有助于兒童數(shù)學學習的。在幼兒數(shù)學教育中，實際上老師也用了很多的手勢，比如舉起手指提問這里一共有多少，你看這是高還是低，是長還是短，是近還是遠，這是圓形還是三角形等。
我們不要忘記用手指和玩手指的游戲，手指是我們隨身攜帶的，可以幫助孩子理解10以內小數(shù)量的工具；研究表明靈活地運用手指能促進兒童的數(shù)學認識；當把手指與有關數(shù)量的兒歌、圖像、符號還有數(shù)學書寫聯(lián)系起來時，我們就把兒童的具體思維、形象思維和抽象思維都結合在一起了。
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通過操作材料和動手
習得數(shù)學概念
一般而言操作材料是具體的、直觀的，它們有不同的顏色、形狀、大小、類型，由于兒童思維的具體性和直觀性決定他們首先注意到的是這些材料的表面特點，而不會形成數(shù)的概念。譬如說孩子看到一個紙杯時會認為是用來喝水的，鉛筆是用來畫畫的，熊媽媽和熊爸爸是一家人，這些具體的材料不會自動幫助兒童形成數(shù)的概念。
這個關系的連接并不是直接的，我們再舉個例子，一個蘋果被平均分為4等分，當孩子看到這個蘋果時，他們首先想到的可能是顏色，可能是味道，他不會自然的把4份蘋果和均分的概念聯(lián)系在一起。當然均分不僅僅是分蘋果，可以是紙張，也可以是其他材料的分類。也就是說均分是一個抽象的概念，而操作的材料是具體的。這里引用兩位美國心理學家談論兒童數(shù)學學習時提及的問題，第一個是密西根大學的Deborah Ball，他說“盡管肌肉運動有助于兒童的感知和思維，理解不會直接從手指上傳遞至胳膊，在大腦中構建概念的”。我們知道兒童的思維是具體的形象，但有了具體感知的東西，并不能直接等同于概念的形成。
還有一位心理學家 David Uttal，他是西北大學的教授，他說“幼兒不是總能夠把操作材料與其代表的數(shù)學概念概念連接起來的”。但這并不是說我們不需要操作材料了，其實操作材料在幼兒數(shù)學學習中至關重要，它為抽象的數(shù)學概念奠定了一個必要的、可摸的、可動的思維臺階。
對于操作材料的選擇大有研究，在兒童剛接觸數(shù)學概念時，應該選擇視覺沖擊較小或者顏色、形狀、大小、類型相同的材料，把兒童的注意力從材料表面的現(xiàn)象、特點轉移到材料所蘊含的數(shù)學意義上來。就拿積木來說，有同樣的顏色、大小、形狀，但是它們擺設方式不同，這樣可以讓孩子理解到材料的變化，幫助孩子建立數(shù)的概念。除了同樣顏色、形狀、大小類型或者無色的材料以外，我們也可以給孩子呈現(xiàn)不同顏色、形狀、大小的材料，為兒童選擇操作材料時要注意其視覺方面的豐富性以及生活中真實物體的相似性，無論使用什么樣的操作材料，老師都需要明確向孩子們解釋操作材料和它所代表的數(shù)學概念之間的關系。而建立這一聯(lián)系孩子需要大量的練習和經(jīng)驗去實踐。
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數(shù)學中的4種圖像表征：
繪本、圖畫、圖像以及視覺圖像
關于兒童數(shù)學教育中的圖像表征，我們可以從繪本、圖畫、圖表和視覺圖像四個方面進行舉例說明。首先是繪本，繪本以數(shù)字、圖形、概念等數(shù)學知識為內容，讓數(shù)學生活化、故事化，幫助兒童更好地接受與理解。只要留心，老師們會發(fā)現(xiàn)許多的兒童繪本中都包括了非常豐富的數(shù)學概念。其次是圖畫，數(shù)學概念是抽象的，但圖畫是具體的，孩子們都喜歡畫畫，當他們還不大能夠準確地用數(shù)學符號來表示數(shù)學思維的時候，圖畫就不失為一種替代方式。在圖畫中，我們可以看到兒童對數(shù)學不同的理解，看到兒童數(shù)學發(fā)展的脈絡。
在幼兒園時，我和小班孩子們一起做了一個數(shù)學游戲，這個游戲說的是：有9只小熊出去玩，可是他們只帶了5個甜點。如果讓孩子用操作材料、圖畫或者是符號來表示，就可以看到孩子對數(shù)學的理解。有的孩子把它畫成一幅圖畫，顯然是和數(shù)學沒有任何關系的；有的孩子畫了不同的熊或者是甜品還寫了一個6的字，就說明孩子的數(shù)概念開始有所發(fā)展了。
此外還可以使用圖表，圖表也可以有不同的形式，比如說：實物圖表、操作材料圖表、圖畫圖表以及數(shù)學圖表。一般來講實物圖表最具體，而數(shù)學圖表最抽象。
最后一種是視覺圖像，孩子們都喜歡數(shù)數(shù)，但不是讓孩子機械數(shù)數(shù)，而是把數(shù)字與數(shù)軸聯(lián)系起來，我們就可以直觀看到數(shù)字1、2、3、4在左邊數(shù)軸是很小的，但數(shù)到12、13、14 甚至90、100時，數(shù)軸會越來越向右，它的距離會越來越長，它的數(shù)量也就越來越大，這種直觀的視覺圖像會大大增加兒童對數(shù)和量概念的認識。
數(shù)學天才兒童的研究也表明有些孩子具有較強的視覺數(shù)學能力，那視覺數(shù)學的作用是什么？它讓孩子在腦海里看到了數(shù)學，讓抽象的數(shù)學形象化、具體化，促進孩子對數(shù)學的理解。生活中也有一些視覺圖像的材料，比如說5連格、10連格等，這些都可以幫助孩子有效地建立5以內或者10以內數(shù)的組合與分解。
其實視覺信息主要是調動了左右大腦半球的交流，通過強化兩個大腦半球之間的互動來優(yōu)化數(shù)學學習與理解。視覺數(shù)學有益于兒童數(shù)學的操作與學習。鼓勵兒童進行數(shù)學視覺思維，實際上也是在幫助他們加強大腦左右半球的交流，促進他們更好地理解數(shù)學。
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教師使用數(shù)學語言越多，兒童學業(yè)成績越好
兒童數(shù)學教育中的符號表征主要表現(xiàn)在數(shù)學語言的作用，什么是數(shù)學語言呢？簡單的說就是與數(shù)字、數(shù)學概念相聯(lián)系的一些詞匯，比如說這一共是5個手指頭，你們用了許許多多的長方形積木，你看看它高我低，我們量一量這張桌子到底有多長？
在談到數(shù)學語言的作用之前，先給大家介紹一個實驗研究，這個實驗研究的研究者提出了兩個問題，第一個問題是幼兒教師在使用數(shù)字詞匯方面有什么不同？第二個問題是這種不同在多大程度上會影響兒童數(shù)概念的發(fā)展？這個研究是美國芝加哥大學的心理學家做的，他們觀察了26個中班的老師和學生，每一個孩子老師觀察三次。他們聚焦在早晨的集體教學活動中，對老師的談話錄音然后進行記錄和分析，發(fā)現(xiàn)幼兒教師與兒童的談話中使用數(shù)字有關的詞匯，只是數(shù)字，老師們使用數(shù)字談話的范圍在三次活動中從1到104，有的老師只用了一次，有的老師用了104次，平均數(shù)值為28。
在這里，我們強調的不僅僅是1和104之間在數(shù)量上的差別，更重要的是想要知道老師使用數(shù)字在多大程度上會影響兒童的數(shù)學成績，實驗者把教師使用數(shù)字詞匯的頻次和兒童的數(shù)學學習成績做一個相關分析，發(fā)現(xiàn)教師使用數(shù)字詞匯越多，兒童的學業(yè)成績也就越好。
下面再給大家舉個例子，這個例子是美國紐約五歲半的孩子與老師之間的數(shù)學談話活動，他使用的材料是一種自制的10方格。
數(shù)學談話是一種常規(guī)性的活動，可以一個星期5次，也可以每天都有，每次很短，幾分鐘就結束了。這個活動一般是基于孩子們已經(jīng)學過，但還沒有完全掌握的概念和技能，比如說美國這個老師的主要目的是讓孩子們熟悉小數(shù)目10以內的組成，所以他使用了10方格的卡片，讓孩子們觀察到底是幾個點在格子里，再讓孩子們講出你怎么知道這是5，這是6，這是7或者這是10的，讓孩子自由發(fā)言，教師不針對孩子的回答做過多的評價。
在這個過程中可以看到孩子用很多不同的方法來解決問題，有的孩子一看就知道答案了，有的孩子會說方格里還有三個空格沒有數(shù)字所以代表了數(shù)字7等等，從中可以看到兒童使用不同的方法解決問題，他們會進行發(fā)散性的思考，并表現(xiàn)出對數(shù)概念的掌握程度。我們之所以強調數(shù)學語言，是因為幼兒學習數(shù)學，不僅需要動手操作，還需要通過思考和交談語言，讓他們的思維更具體化、清晰化，也更概念化。
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不要排斥抽象思維，并朝之努力發(fā)展
根據(jù)皮亞杰的理論，兒童的數(shù)學思維發(fā)展被認為是直線型的過程，即從具體到抽象。今天，我們對兒童數(shù)學思維的發(fā)展有了新的理解，即思維有三種形式，并且是同時存在、同時運作的，只是它的運作形式和程度有所不同。
兒童年齡越小，具體思維的程度就越大，抽象思維的程度就會越小，那么在教學中的具體性、形象性也應該越強，但這并不表明我們要排斥抽象思維形式。在幼兒數(shù)學教學管理中，數(shù)學是一種抽象的思維，是精確思維的學科，幼兒數(shù)學也是朝這個方向來努力發(fā)展的。
因此，我們應當在適當?shù)臅r候用適當?shù)姆绞脚c兒童進行數(shù)學對話，給他們介紹有關數(shù)學概念有關的符號，這些都是必要的；我們要幫助兒童用手、腳、身體、眼睛、耳朵和大腦來學習數(shù)學的三種表征方式，有意識地運用在實際的教學活動中，發(fā)展兒童的數(shù)學概念。
文字整理/陳梓匯
圖片/溫笑寒攝于綿陽市少年宮幼兒園
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